Его биография по-своему уникальна. В спортивном мире нет футболистов, которые на протяжении своей карьеры умудрились сыграть за четыре разные сборные.  Воспитанник футбольной школы города Гудаута уже в 17 лет попал в сухумское “Динамо”. На сборе на олимпийской базе в Эшерах его приметили тренеры хабаровского СКА. За этот клуб он играл три месяца. По сути это был призыв в армию, который закончился благодаря интересу к Цвейбе со стороны тбилисского ”Динамо”.

Первых успехов как игрок он начал добиваться в клубе столицы Грузинской ССР. В конце 1989 года по совету Валерия Лобановского, узнавшего о выходе тбилисцев из футбольного союзного чемпионата, перешёл в киевское “Динамо. Именно в его составе он стал чемпионом и обладателем Кубка СССР.

В конце 1991 года Ахрик Цвейба получил приглашение от “Тоттенхэма”,  однако он ответил отказом. По собственному признанию, по 2-м причинам: из-за сильной усталости после сезона и из-за настойчивых просьб «Динамо» помочь клубу в Лиге Чемпионов. Настойчивость киевлян была подкреплена предоставлением Цвейбе квартиры и машины в Киеве.

Цвейба рассчитывал уехать после Чемпионата Европы по футболу 1992 года, однако стоящих предложений не было, и он продолжил выступления за киевлян. В середине 1993 года оказался в России, где выступал за КамАЗ. В 1994 уехал в Японию, где выступал за «Гамба Осака».

В январе 1997 года Ахрик выступил за сборную клубов России на Кубке Содружества 1997. Спустя пару недель заключил контракт с «Аланией».

Завершил Ахрик Цвейба свою игровую карьеру в 2001 году в московском «Динамо», эта команда стала четвёртой динамовской в карьере Цвейбы. В 2003 году был назначен на пост тренера-селекционера клуба «Торпедо-Металлург» Москва. В последнее время Ахрик выступает за команды ветеранов российского футбола и работает начальником селекционного отдела в московском «Динамо».